Konversi Persamaan ke dalam Sistem Koordinat Vertikal sigma-p (σ)

sumber: http://images.slideplayer.com/38/10782029/

Sistem koordinat vertikal, apa itu? Itu adalah sistem koordinat yang menunjukkan suatu 'ketinggian'. Contoh pada kartesian, x dan y untuk representasi bidang datarnya dan untuk 'ketinggian' diwakili oleh z dalam meter.

Walaupun koordinat vertikal menggunakan z biasa ini sangat mudah dimengerti, tapi dalam simulasi fisika atmosfer dengan domain bumi jarang digunakan, kenapa? Karena perhitungan yang dilakukan domain batas di permukaan bumi akan sangat banyak. Ya, relief-relief bumi seperti gunung, lembah tak terhitung berapa banyaknya jika kita mengambil domain yang luas. Ini tentu saja akan membuang-buang resource pada komputer yang kita pakai. Idealnya, kita ingin suatu sistem koordinat vertikal yang bisa 'secara otomatis mengikuti' relief-relief bumi itu.

(yang atas) sistem koordinat vertikal yang kita idealkan dan (yang bawah) sistem koordinat vertikal menggunakan koordinat z biasa. (sumber :http://slideplayer.com/slide/2490486/)

Dan itulah alasan kita akan mengganti koordinat z yang biasa ini ke koordinat vertikal lainnya yang memenuhi keinginan kita yang sudah dijelaskan tadi. Syarat untuk mengganti variabel z ini dengan yang lain adalah variabel itu harus mempunyai hubungan monotonik dengan variabel z. Dan salah satu sistem vertikal koordinat yang memenuhi syarat itu dan keinginan kita adalah koordinat sigma-p.

Untuk mengubah dari z biasa ke sigma-p tidak serta merta dengan hanya mengganti variabel yang ada di persamaan saja. Perlu dilakukan beberapa penurunan rumus dan berikut merupakan metode umum untuk melakukan konversi koordinat vertikal.

Ok, anggap ada suatu fungsi A yang tergantung pada posisi (dalam 3 dimensi) dan waktu.

Dan jika kita ingin mengganti mengganti z dengan variabel q yang mempunyai hubungan monotonik dengan z, maka fungsi A bisa dituliskan menjadi

Jika A diturunkan terhadap q, bisa tuliskan menjadi

Penjelasan yang 'intuitif' dari ini mungkin bisa dibaca disini

Dan turunan A terhadap z tentu saja menjadi

Sementara itu, jika kita ingin menurunkan A terhadap selain q dan z, yaitu (dalam contoh fungsi ini, pada kasus lain bisa banyak kemungkinan) terhadap x, y, atau t dalam sistem koordinat vertikal q, maka anggap r adalah x, y, atau t itu dan kita bisa menuliskannya menjadi

Variabel yang menjadi suffix pada persamaan di atas (yaitu q dan z) maksudnya pada penurunan itu, variabel suffix itu dibuat konstan. Dan dengan mengubah sedikit rumusnya, maka kita bisa menurunkan rumus apa saja dari suatu koordinat vertikal ke koordinat vertikal lainnya.

Dan sekarang mari kita mendeskripsikan apa yang dimaksud dengan koordinat vertikal sigma-p (σ). Ini berasal dari koordinat vertikal sigma. Jadi, bagaimana bisa sistem koordinat ini sifatnya terrain following? karena pada koordinat ini yang dihitung adalah selisih 'lapisan permukaan' dengan 'lapisan' di atasnya. Dalam hal ini (kita menggunakan sigma-p) selisih tekanan udara. sigma bernilai 0 untuk lapisan teratas dan bernilai 1 untuk lapisan permukaan. Untuk lebih jelasnya, bentuk matematikanya adalah sebagai berikut

lebih mudah memahaminya dengan langsung melihat rumus ini daripada membaca penjelasannya

Dimana:

p = tekanan pada posisi yang diamati.

p_t = tekanan pada lapisan teratas.

p_s = tekanan pada lapisan permukaan.

Ok, bagian 'perkenalan' sudah selesai. Selanjutnya bagian menurunkan persamaan yang kita inginkan, dalam hal ini persamaan termodinamika untuk memprediksi suhu.

Suku disebelah kanan masih ada diferensial total. Parameter tekanan bukan hanya dipengaruhi oleh 1 parameter, oleh karena itu turunan total tekanan terhadap waktu masih harus di uraikan lagi melibatkan diferensial parsial. Jika

Operator material derivatif, dimana derivatif ini mengikuti 'perkembangan' parsel yang diamati

maka

Dimana:

ω = kecepatan vertikal untuk koordinat vertikal z biasa (dω/dt).

v = vektor kecepatan horizontal, u dan v untuk sumbu x dan y (yang di persamaan di atas yang ada tanda panahnya, ini merujuk ke simbol itu).

Persamaan ini masih menggunakan koordinat vertikal z biasa, oleh karena itu akan di konversi ke koordinat vertikal sigma-p. Mari kita konversi tiap turunan parsial yang ada pada persamaan diferensial total tekanan terhadap waktu di atas. Dari suku pertama sebelah kanan

lalu

dan yang terakhir

Kemudian persamaan tadi di susun ulang dan menjadi

Jika kita langsung memakai operator d/dt tadi dengan asumsi koordinat vertikal yang digunakan adalah sigma-p, maka

Dimana σ dot (σ yang ada tanda dot diatasnya) adalah kecepatan vertikal menggunakan koordinat vertikal sigma-p (dσ/dt). Jika kita ambil hubungan dari 2 persamaan di atas maka kita dapatkan

Sehingga, bentuk persamaan baru kita adalah

Dengan menghubungkan persamaan ini dan temuan kita sebelumnya tentang koordinat kurvalinear (bola), kita bisa mengonversi persamaan ini lagi agar cocok dengan permukaan bumi. Anggap λ sebagai lintang, θ sebagai bujur, dan a sebagai jari-jari bumi, maka persamaan tadi menjadi

Dimana

Dan begitulah bentuk akhir dari persamaan termodinamika kita. Dengan langkah konversi persamaan terakhir ini, kita hanya perlu memasukkan range lintang dan bujur yang dinginkan jika ingin melakukan simulasi menggunakan persamaan ini. Dan ini sangat cocok untuk simulasi dengan domain yang luas. Setelah  mendapatkan persamaan seperti ini, sepertinya saya akan mulai memprogram simulasi prediksi suhu agar bisa lebih memahami lagi implikasi dari rumus-rumus ini. Nanti jika dirasa ada yang salah atau kurang pada tulisan ini akan segera direvisi. Sekian.

referensi:
http://www.atmo.arizona.edu/students/courselinks/spring08/atmo336s1/courses/spring12/atmo558/Lectures/Vertical%20coordinate%20system.pdf, diakses pada 20 Oktober 2016
http://acmg.seas.harvard.edu/movies/sigma_doc.html, diakses pada 20 Oktober 2016
http://www.atmos.washington.edu/~scavallo/wrf_thermo.pdf, di akses pada 20 Oktober 2016
http://www.meteo.physik.uni-muenchen.de/lehre/roger/Tropical_Cyclones/080508_TCs_Chapter_1.pdf, di akses pada 20 Oktober 2016
http://www.cgd.ucar.edu/staff/islas/teaching/2_Equations.pdf, di akses pada 30 Oktober 2016