Mengenal Eigenvalue dan Eigenvector

Well, saya benar-benar kesulitan memahami konsep dari eigen bersaudara ini walaupun sebenarnya sederhana. Mungkin karena jadi malas duluan karena begitu membuka dokumentasinya yang butuh beberapa kalimat bahkan paragraf hanya untuk menjelaskan tentang ini.

Yah, zaman sudah berubah, abstraksi dimana-mana dan matematika adalah bahasanya. But stepping that aside, pada prakteknya, bagi orang-orang yang hanya tertarik pada problem solving di dunia nyatanya seperti saya ataupun kamu, persamaan matematika rumit yang ada dibuku-buku itu sudah dikemas pada library-library/software ataupun metode siap pakai. Tapi yah terkadang, saya penasaran juga tentang "apa yang sebenarnya terjadi". Bagaimanapun, yang membedakan script kiddies  dan programmer ataupun hacker adalah pemahaman mereka.

Sedikit melenceng dari topik, mengapa harus belajar aljabar linear? Aljabar linear itu sudah merupakan keharusan jika ingin mempelajari lebih jauh tentang sains dan engineering. Relasi antar faktor-faktor yang mempengaruhi sesuatu paling mudah digambarkan dengan hubungan linear.

Ketika mempelajari aljabar linear kita akan sering dihadapkan dengan matriks dan dari matriks inilah kita akan sering bertemu dengan istilah eigen-sesuatu ini. Kita hanya akan membahas eigenvalue dan eigenvector. Sesuai namanya, eigenvalue adalah nilai skalar dan eigenvector adalah sebuah vektor. Eigenvalue dan eigenvector selalu berpasangan.

Apa yang membuat nilai skalar dan vektor ini spesial adalah hubungan matematika ini

Dimana A adalah matriks persegi nxn, v adalah eigenvector dengan n elemen dan λ adalah eigenvalue. Perhatikan point pentingnya disini, banyaknya elemen suatu eigenvector tergantung pada sisi dari matriks perseginya. Jadi misal A adalah matriks persegi 50x50, maka eigenvector akan punya 50 elemen.

Apa yang bisa kita tangkap dari persamaan diatas? Itu menggambarkan transformasi yang kita lakukan terhadap vektor v tersebut melalui perkalian matriks hanya mengubah skalanya saja. Ya, kuncinya adalah kekonsistenan arah vektor (mungkin ungkapan ini kurang tepat) walaupun sudah di transformasi.

Lebih formalnya, sebenarnya yang kita bahas disini adalah eigenvector kanan. Sehingga eigenvector kanan adalah matriks baris sedangkan eigenvector kiri adalah matriks kolom. Eigenvalue? tetap hanyalah nilai skalar biasa entah pada eigenvector kiri atau kanan.

Bagaimana cara mencari eigenvector dari suatu matriks persegi? Seperti lazimnya persamaan linear, jika hanya ada 1 persamaan dan kita ingin mencari 1 variabel yang tidak diketahui nilainya maka varibel lainnya harus diketahui nilainya atau dengan kata lain kita perlu tahu terlebih dahulu eigenvalue dan matriks perseginya.

Lansung saja ke contohnya. Carilah eigenvector dari matriks A jika matriks A adalah

Kemudian kita cari eigenvalue berdasarkan hubungan matematika paling awal tadi sehingga

Dari sini kita dapat kalau λ = 2 atau λ = 3, kita pakai "atau" karena keadaan ini mustashil terjadi bersamaan. Mari kita ambil jika λ = 3 dan cari eigenvectornya dari hubungan A v = λ v maka 

Dan berakhirlah kenalan kita dengan eigen bersaudara ini. Topik tentang eigen ini jika di telusuri lebih jauh akan jadi sangat rumit walaupun idenya sederhana. Tiap matriks persegi punya eigenvector hanya saja ada kemungkinan bentuknya dalam bilangan kompleks dan kita tidak akan membahas itu karena akan rumit. Sekian.

referensi:
https://www.slideshare.net/shubham211/eigen-values-and-eigen-vectors-55783826, di akses pada 25 Maret 2017
http://math.stackexchange.com/questions/654465/do-all-square-matrices-have-eigenvectors/654470, di akses pada 28 Maret 2017